Бином Ньютона
Треугольник Паскаля
Лестница на гору Меру
(meru-prastaara)
В своем труде Халаюдха «Комментарии к «Чандас-шастра»Пингала» дает описание метода, для нахождения числа сочетаний из слогов. Это первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов.
Треугольник
Цзя Сянь
"Ши Суо Суан Шу "
Самая ранняя сохранившаяся китайская иллюстрация «Треугольника Паскаля» на ней шестистрочный треугольник для расчета:
(а + b)6
Треугольник
Яна Хуэя
«Подробное разъяснение методов исчисления в девяти разделах»
В этой работе автор писал: «Мой метод нахождения квадратных и кубических корней был основан на методе Цзя Сянь из Ши Суо Суан Шу».
Треугольник
Тарталья
"Общий трактат о числе и мере"
Здесь каждое число является суммой чисел, стоящих перед ним и над ним, а коэффициенты различных степеней бинома расположены по диагоналям, соединяющим числа первого столбца с числами первой строки, имеющими тот же порядковый номер.
Треугольник
Паскаля
«Трактат об арифметическом треугольнике»
Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу, верхняя строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно продолжать сколько угодно).
1
Число второго столбика соответствует номеру строки, на котором расположено число.
2
Число третьего столбика равно сумме номеров строк, предшествующих строке, на которой расположено число
5
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи
6
Числа треугольника симметричны вертикальной оси, проходящей через его вершину
7
Первое и последнее число в строке с номером n равно 1
8
Второе и предпоследнее числа в строке с номером n равно n
9
Если вычесть из центрального числа в строке с четным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана
(1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ...)
10
Сумма чисел n-й строки равна 2n, где n-целое число
11
Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.
12
Все числа в n-строке, кроме единиц, делятся на число n, если n является простым числом (следствие теоремы Люка)
13
Вторые ряды, параллельные сторонам треугольника состоят из натуральных чисел, идущих по порядку.
14
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз
15
В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц, равно сумме двух соседних в предыдущей строке.
16
Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в предыдущей строке
17
В каждой строке треугольника сумма чисел на нечетных местах равна сумме чисел на четных местах
18
Каждое число треугольника равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
19
В треугольнике k-е число
(при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.
20
Треугольник Паскаля бесконечен.
