top of page
1605593495379166.jpg

Бином Ньютона

Историческая хронология формулы Бином Ньютона

Евклид.jpg

Евклид

325 года до н. э - 

265 года до н. э

Древние Афины

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Начала», II книга

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Формулировка частного случая  бинома для показателя 2:

Предложение IV

«Ежели прямая линия рассечена как ни есть, то квадрат из целой равен квадратам из отрезков и вместе дважды взятому прямоугольнику, содержимому в сих отрезках.»

(а+b)2=a2+2ab+b2

Дополнительная

информация

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «аb», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b ».

Пингала.png

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Чандас-шастра» (Chandahsutra) или «Чандас-сутра»

Ачарья Пингала

II в. до н. э - 

(около 150 г. до н.э.)

Древняя Индия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

В своем труде спрашивал, сколькими способами можно составить шестисложный метр из коротких и длинных нот.

Пингала находил количество метров, в которых n- длинные слоги и k- короткие слоги. Это считают  эквивалентно нахождению биномиальных коэффициентов.

Дополнительная

информация

Пингала представляет первое известное науке описание двоичной системы счисления. Он описал двоичную систему счисления в связи с перечислением ведийских размеров стихосложения с короткими и длинными слогами

Диафант Александрийский.jpg

Научная работа, в которой рассмотрена формула

"Арифметика"

Диофант Александрийский

III в. н. э 

Древняя Греция

Александрия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

В своей книге «Арифметика» Диофант  первым ,формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал с арифметической точки зрения, уходя от принятых геометрических способов

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Халаюдха

X век

Индия

«Комментарии к «Чандас-шастра»Пингала»

 (около 960г)

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием «Лестница на гору Меру»( meru-prastaara)

«После построения квадрата на вершине ниже строятся еще два квадрата так, чтобы половина каждого располагалась под каждой из двух сторон. Затем построим три квадрата, еще ниже - четыре квадрата; процесс повторяется до тех пор, пока требуемая пирамида не будет получена. В первом квадрате запишем 1; в каждом из 2-х квадратов второй линии снова поместим по единице. В последующих линиях единицу поместим в каждом из 2-х крайних квадратов, а в средних квадратах помещаем сумму цифр ближайших двух квадратов, расположенных выше. Т.о. заполняют все квадраты. Тогда вторая линия даст число комбинаций из короткого и длинного звуков, образующих один слог; третья даст то же самое для 2-х слогов, четвертая для 3-х слогов и т.д»

Дополнительная

информация

Лестница на гору мера.jpg
Аль-Караджи.jpg

Абу Бакр

аль-Караджи

953-1029

Персия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Книга об алгебре и алмукабале»

1010г

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Для суммы квадратов аль-Караджи приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может.

Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

Так же Аль-Караджи приводит в своём сочинении таблицу биномиальных коэффициентов.

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Цзя Сянь

 1010–1070

Китай

"Ши Суо Суан Шу "

(около 1050-1060)

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов до n = 6 (треугольник Цзя Сянь). Цзя использовал его как инструмент для извлечения квадратных и кубических корней.

Дополнительная

информация

Омар Хайям

Омар Хайям

1048- 1131

Персия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

трактат

«Трудности арифметики»

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

По мнению исследователей Б.А. Розендельда и А.П. Юшкевича, в этой работе Омар Хайям первым в истории математики предложил общий прием извлечения корней n-й степени из чисел, основанный на знании формулы n-й степени двучлена

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

 Аль-Самаваль
аль-Магриби

​ 1130–1180

Иран

«Аль-Бахир фил-джабр»

перевод

«Блестящий в алгебре»

1149г

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Доказывается биномиальную теорему для  n = 3, 4, 7, и приводится таблица нахождения биномиальных коэффициентов

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Ян Хуэй

 1238–1298

Китай

«Сянцзе цзючжан суаньфа»

перевод

«Подробное разъяснение методов исчисления в девяти разделах»

1261г

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Самая ранняя сохранившаяся китайская иллюстрация « Треугольника Паскаля» на ней шестистрочный треугольник для расчета (а + b)6

Автор писал: «Мой метод нахождения квадратных и кубических корней был основан на методе Цзя Сянь из Ши Суо Суан Шу »

Дополнительная

информация

Страница из энциклопедии Юнлэ сохранила этот исторический факт.

Ад-Дин туси.jpg

Насир ад-Дин Туси

1201- 1274

Персия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Сборник по арифметике с помощью доски и пыли»

1265г.

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Приводит таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника до n=12

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

 

Чжу Шицзе

​ 1249–1314

Китай

«Яшмовое зеркало четырёх первоэлементов»

1303

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Изображение треугольника Паскаля на одной из иллюстраций, дополненного до восьми строк

треугольник Чжу.gif

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Нараяна Пандита  1325–1400

Индия

 

"Ганита Каумуди"

перевод

"Освещенный «Лунный свет математики»"

13 глава Анка-паша (Aṅka-pāśa )

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

В 13 главе среди 97 правил и 45 примеров,  математик рассмотрел вычисление биноминальных коэффициентов.

Дополнительная

информация

аль-каши.jpg
Джамшид аль-Каши
1380-1429
Иран

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Ключ к арифметике»

Пятая книга: о нахождении неизвестных с помощью алгебры и алмукабалы

1427

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Разложение  Бинома Ньютона  для любого натурального показателя.

Дополнительная

информация

Петер Биневец.jpg
Петер Биневиц
1495-1552
Германия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Новое и хорошо обоснованное наставление по арифметике для всех купцов» Справочник по коммерческой арифметике

1527г.

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

В этом справочнике впервые в печати появилась таблица биноминальных коэффициентов

Дополнительная

информация

Штифель.webp
Михаэль Штифель
1487-1567
Германия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

«Обобщённая арифметика» Arithmetica integra

 1544

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Многомерное  обобщение  куба  используется М.Штифелем в 1553г. для иллюстрации формулы бинома, которую он формулирует для любого натурального показателя.

М.Штифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и приводит таблицы биномиальных коэффициентов до 18 степени, где каждый  элемент  образуется  как  сумма  элементов предыдущей строки, стоящих над ним и слева от него: «Так же как квадратные биномы разлагаются на 4 части, а кубические – на 8 частей, квадрато-квадратные  биномы  разлагаются  на 16 частей, а сверхтелесные на 32 части и подобно этому идет по двукратной прогрессии»

Дополнительная

информация

Тарталья.jpg
Никколо Тарталья
1499-1557
Италия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

"Общий трактат о числе и мере" ч.1-6

  («Generale trattato de numeri e misure»)

 1556-1560

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Придал таблице биноминальных коэффициентов следующий вид:

 

Таблица Тарталья.jpg

Здесь каждое число является суммой чисел, стоящих перед ним и над ним, а коэффициенты различных степеней бинома расположены по диагоналям, соединяющим числа первого столбца с числами первой строки, имеющими тот же порядковый номер.

Дополнительная

информация

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Рафаэль Бомбелли
1526-1572
Италия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Приведено разложение бинома до n=7, используя коэффициенты при вычислении соответствующих корней

Дополнительная

информация

270px-Algebra_by_Rafael_Bombelli.gif
58668849_Faulhaber.jpg
Йоганн Фаульгабер
1580-1635
Германия

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Приведены  без доказательства значения для суммы степеней m первых восьми чисел натурального ряда, где m = 1, 11

Дополнительная

информация

паскаль.webp
Блез Паскаль
1623-1662
Франция

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Исследует свойства биномиальных коэффициентов при возвышении бинома в любую целую положительную степень (частный случай бинома Ньютона). Паскаль находит их, впервые в истории математики сознательно применяя метод полной математической индукции, — способ рассуждения от n к n+1.

треугольник паскаль.jpg

Дополнительная

информация

паскаль_трактат.png
ньютон.webp

Научная работа, в которой рассмотрена формула

письмо графу Г.Ольдербургу и Г.В. Лейбницу

1676г

Исаак Ньютон
1642-1727
Англия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Получил формулу в период 1664-1665г.

В  письме  указывает общее биноминальное разложение в виде:

бином 1.jpg
бином 1.jpg

В последующих письмах Ньютон приводит свою формулу к современному виду:

бином 2.jpg
бином 2.jpg

Дополнительная

информация

эйлер.webp

Научная работа, в которой рассмотрена формула

Леонард Эйлер
1707-1783
Швейцария/
Россия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Во втором разделе, озаглавленном "О разных исчислениях составных количеств", исследует  бином Ньютона для рациональных чисел, обобщает формулу  и выводит тождество:

эйлер 1.jpg

Дополнительная

информация

арифметика Эйлера.jpg
Niels_Henrik_Abel.jpg

Научная работа, в которой рассмотрена формула

журнал «Journal für die reine und angewandte Mathematik» или «Crelle's Journal»

№1-1826г

Нильс Хенрик
Абель
1802-1829
Норвегия

Название формулы в работе ученого, краткое ее описание

Исследовал биноминальный ряд. Вывел «Биномиальную теорему Абеля», которая является математическим тождеством с участием суммы из биномиальных коэффициентов

абель 1.jpg

Дополнительная

информация

Подведем итоги

На протяжении веков люди интересовались математическими знаниями. Любое важное открытие в математике строится на работах предшественников и исследователях, на их долгом и часто безызвестном труде. И. Ньютон в письме Роберту Гуку писал: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов». В истории открытия биноминальной теоремы таких гигантов было множество, начиная с древних времен: Эвклид, Халаюдха, Абу Бакр аль-Караджи и многие другие. Но обязательно должен быть человек, у которого, получается, объединить разрозненные знания. В нашем случае этим человеком является Исаак Ньютон, чье имя по праву носит обобщённая формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.

В разных странах формула «Бином Ньютона» называется по-разному:

​1) Binomial formula, binomial theorem - Англия

2) Newtonsches Binomo- Германия

3) Binôme de Newton,  théorème binomial- Франция

4)Binomická věta-Чехия

5) Teorema del binomio –Испания

Бином Ньютона применяется в решение задач в области комбинаторики, математической статистики и логики, в исследовании функций и приближённых вычислений.

магри.png
bottom of page